Թվաբանության ուսուցում

Մարդը նույնիսկ զարգացման ամենավաղ փուլերում ունի ձիրք, որը, ավելի լավ տարբերակ չգտնելու պատճառով, կանվանեմ թվի զգացողություն:  Այդ ընդունակությունը նրան թույլ է տալիս գիտակցել, որ առարկաների ոչ մեծ հավաքածույում ինչ-որ բան փոխվել է, երբ ստույգ հայտնի չէ, ինչ-որ օբյեկտ հեռացվել է, թե՝ ավելացվել:

Թվի զգացողությունը պետք չէ շփոթել հաշվի հետ, որը, հավանաբար, ավելի ուշ շրջանի հայտնագործություն է և, ինչպես հետո կտեսնենք, մտավոր ավելի բարդ պրոցեսներ է ենթադրում: Հաշիվը, որքանով հայտնի է, մարդուն բնորոշ առանձնահատկություն է, չնայած կենդանիների որոշ տեսակներ, կարծես, մեզ նման օժտված են թվի սաղմնային զգացողությամբ: Համենայն դեպս, այդպիսին է կենդանիերի վարքի նկատմամաբ հեղինակավոր դիտարկողների կարծիքը, և այդ տեսությունը բազմաթիվ փաստերով հաստատվում է:

Օրինակ, շատ թռչուններ օժտված են թվի այդպիսի զգացողությամբ: Եթե բնում չորս ձու լինի, ապա մեկը, առանց վտանգի ենթարկելու, կարելի է վերցնել, բայց եթե երկուսը վերցնենք, ամենայն հավանականությամբ, թռչունը կլքի բույնը: Ինչ-որ անհասկանալի ձևով թռչունը տարբերում է երեքը երկուսից: Բայց այս առանձնահատկությունը ոչ միայն թռչուններին է հատուկ:  Փաստորեն, մեզ հայտնի ամնազարմանալի օրինակը միջատ է՝ «դեղահաբային կրետը»: Մայրը առանձին բջիջներում ձվեր է դնում, ընդ որում յուրաքանչյուր բջիջում դնում է մի քանի կենդանի որդ, որոնցով ձվից դուրս գալուց հետո պետք է սնվի թրթուրը: Զոհերի թիվը զարմանալիորեն հաստատուն է մնում տվյալ տեսակի կրետների համար. մի տեսակը մեկ բջջում դնում է 5-ական որդ, մյուս տեսակը՝ 12-ական, իսկ մեկ ուրիշ տեսակն էլ՝ երկու անգամ ավելի՝ 24-ական: Բայց ամենազարմանալի օրինակը կրետների Genus Eumenus տեսակն է, որոնց արական կրետը զգալիորեն փոքր է իգականից: Ինչ-որ անըմբռնելի ձևով մայրը իմանում է, թե ինչ սեռի կլինի թրթուրը, և համապատասխան ձևով սնունդ է առանձնացնում. նա չի փոխում որդի տեսակը կամ չափսերը, բայց արականների համար հինգ զոհ է թողնում, իսկ իգականների համար՝ տասը:

Կրետների գործողություններում օրինաչափությունները և այն, որ նրանց գործողությունները կապված են միջատների կյանքի հիմնարար ֆունկցիաների հետ, վերջին օրինակը պակաս համոզիչ են դարձնում, քան հաջորդը: Այստեղ թռչնի գործողությունները գրեթե գիտակցված են թվում:

Մի հողատեր որոշում է սպանել ագռավին, որը բույն էր հյուսել նրա կալվածքի պահակային աշտարակի վրա: Մի քանի անգամ նա փորձել էր թռչնին հանկարածակիի բերել, բայց ապարդյուն. հենց նա մոտենում էր, թռչունը հեռանում էր բնից: Հեռվում գտնվող ծառի վրա նա ուշադրությունը լարած սպասում էր, մինչև մարդը հեռանա աշտարակից, և հետո վերադառնում էր իր բույնը: Մի անգամ հողատերը որոշեց խորամանկել. երկու հոգով մտան աշտարակ, մեկը մնաց ներսում, իսկ մյուսը աշտարակից դուրս եկավ ու հեռացավ: Բայց թռչունը չխաբվեց, նա հեռվում մնաց, մինչև երկրորդ մարդն էլ դուրս եկավ: Հաջորդ օրերին փորձը կրկնեցին երկու, երեք, հետո նաև չորս մարդկանց հետ, բայց ապարդյուն: Վերջապես աշտարակ գնացին հինգ հոգով. առաջվա նման բոլորը մտան, մեկը մնաց աշտարակում, մինչդեռ չորսը դուրս եկան և հեռացան: Այստեղ ագռավը հաշիվը խառնեց: Նա չկարողացավ չորսը տարբերել հինգից և անմիջապես վերադարձավ բույն:

Նման ապացույցների դիմաց երկու փաստարկ կարելի է առաջ քաշել: Առաջինը, թվի այդպիսի զգացողություն ունեցող կենդանիների տեսակների քանակը չափազանց փոքր է, կաթնասունների մեջ այդպիսիններ ընդհանրապես չեն գտնվել, և, կարծես, նույնիսկ կապիկները զուրկ են այդպիսի ընդունակությունից:  Երկրորդ փաստարկն այն է, որ այդ բոլոր դեպքերում կենդանիների մոտ թվի զգացողությունը այնքան սահմանափակ է, որ կարելի է անտեսել:

Առաջինը կարելի է հասկանալ: Իսկապես, ուշագրավ է, որ ինչ-որ ձևով թիվը ընկալելու կարողությունը հատուկ է միայն միջատներին, թռչուններին և մարդկանց:  Շների, ձիերի և ուրիշ ընտանի կենդանիների հետ արված փորձերը և դիտարկումները թվի ոչ մի զգացողություն չեն հայտնաբերել նրանց մոտ:

Երկրորդ փաստարկը մեծ նշանակություն չունի, քանի որ մարդու մոտ էլ թվի զգացողությունը սահմանափակ է: Գործնականում, երբ քաղաքակրթված մարդուն հարկ է լինում թվերը տարբերել, նա գիտակցաբար կամ ակամա թվի անմիջական զգացողությանը օգնում է այնպիսի հնարքներով, ինչպես համաչափության ընկալումը, մտովի խմբավորումը կամ հաշիվը: Հաշիվը այն աստիճանի է դարձել մեր մտավոր պրոցեսների անբաժանելի մասը, որ թվերի ընկալման վերաբերյալ հոգեբանական թեստերը հանդիպում են լուրջ դժվարությունների: Համենայն դեպս այս բնագավառում որոշակի առաջխաղացում է գրանացվել. մանրամասնորեն կատարված թեստերը հանգեցրել են անխուսափելի եզրակացության, որ միջին քաղաքակրթված մարդու մոտ թվի տեսողական զգացողությունը հազվադեպ է անցնում չորսը, իսկ շոշափողական զգացողությունը ավելի սահմանափակ է ծավալով:

Դա զգալի չափով հաստատվում է վայրենի վիճակում գտնվող մարդկանց մարդաբանական ուսումնասիրություններով: Նկատվել է, որ այն համայնքների ներկայացուցիչները, որոնք դեռ չեն հասել մատներով հաշվելու աստիճանին, ամբողջովին զուրկ են թվի ընկալումից: Նման փորձեր կատարվել են տարբեր ցեղերի հետ, որոնք ապրում են Ավստրալիայում, հարավային ծովերի կղզիներում, Հարավային Ամերիկայում և Աֆրիկայում:  Ազգագրագետ Քերը, ով Ավստրալացի բնիկների բազմակողմանի ուսումնասիրություն էր կատարում, պնդում է, որ նրանցից քչերը կարող են տարբերել չորս թիվը, և համայնքի սկզբնական պայմաններում ապրող ավստրալացիներից ոչ մեկը չի կարողացել ճանաչել յոթ թիվը: Հարավային Աֆրիկայի բուշմենների մոտ միայն երեք թվային բառ կա՝ մեկ, երկուս և շատ, և այդ բառերը այնքան անորոշ են, որ կարելի է կասկածել, թե բնիկները այդ բառերին հստակ նշանակություն են տալիս:

Մենք չունենք պատճառ հավատալու և ունենք բազում պատճառներ կասկածելու, որ մեր հեռավոր նախնիների մոտ գործերն ավելի լավ էին. գրեթե բոլոր եվրոպական լեզուները իրենց մեջ ունեն անցյալում այդպիսի սահմանափակումների հետքեր:  Անգլերեն thrice բառը, ինչպես նաև լատիներեն՝ ter , երկու իմաստ ունի «եռակի» և «շատ»: Անկասկած, կապ կա լատիներեն tres բառի, այսինք «երեք» և trans՝ «հեռու», «սահմանից այն կողմ» բառերի միջև:  Նույնը կարելի է ասել ֆրանսերեն tres՝ «շատ» և trios՝ «երեք» բառերի մասին:

Թվի առաջացումը թաքանված է դարերի խորքում՝ անթափանց վարագույրի ետևում: Այդ հասկացությունը առաջացել է փորձից, թե փորձի կուտակումը ուղղակի նպաստել է այն բանի բացահայտմանը, ինչը անորոշ կերպով արդեն թաքնված ձևով գոյություն ուներ հնագույն բանականության խորքերում, դա մետաֆիզիկական դատողությունների համար հետաքրքիր առարկա է, և այդ պատճառով էլ դուրս է այն հարցերի շրջանակից, որը քննարկվում է այս գրքում:

Եթե մեր հեռավոր նախնիների մասին դատենք ժամանկակաից ցեղերի զարգացվածության աստիճանով, ստիպված ենք եզրակացնել, որ սկիզբը չափազանց համեստ է եղել:.Ժամանակակից հասկացությունը զարգացել է թվի մասին թերաճ զգացողությունից, որը ծավալով ավելի մեծ չի եղել՝ թռչունների հիմա ունեցածից: Եվ կասկած չկա, որ մնալով թվի այդ անմիջական ընկալումով, մարդը հաշվի արվեստում թռչուններից հեռուն չէր գնա: Բայց մի շարք ուշագրավ հանգամանքների շնորհիվ, մարդը սովորեց ամրացնել թվի՝ իր խիստ սահմանափակ զգացողությունը, օգտագործելով գյուտեր, որոնք հսկայական ազդեցություն ունեցան նրա հետագա ամբողջ կյանքի համար: Այդպիսի գյուտ էր հաշիվը, և հատկապես հաշվին ենք պարտական այն զարմանալի առաջընթացի համար, որին հասել ենք տիեզերքը թվի միջոցով արտահայտել ձգտելիս:

Կան պրիմիտիվ լեզուներ, որոնցում ծիածանի բոլոր գույների անունները կան, բայց «գույն» նշանակող բառը չկա. գոյություն ունեն այնպիսինները, որտեղ թվերի անունները կան, բայց «թիվ» բառը չկա: Նույնը արդարացի է նաև ուրիշ հասկացությունների վերաբերյալ: Անգլերենում բուն այդ լեզվին հատուկ շատ բառեր կան որոշակի տեսակի հավաքածուներ նշանակող՝ flock, herd, set, lot, bunch, այս բոլոր բառերը օգտագործվում են կոնկրետ դեպքերում՝ հոտ, ամբոխ, խումբ, փունջ և այլն, մինչդեռ aggregate, collection՝ հավաքածու, բազմություն բառերը փոխառված են:

Կոնկրետը նախորդում է վարացարկվածին: «Շատ դարեր պետք եղավ, որպեսզի հայտնաբերեն,- ասում է Բերտրան Ռասելը,- որ փասիանների զույգը, և օրերի զույգը՝ երկուս թվի օրինակներ են»:  Մեր օրերում էլ անգլերենում մի քանի ձև կա եկուս հասկացությունը արտահայտելու համար՝ pair, couple, set, team, twin, brace և այլն, այսինքն՝ երկու հատ, երկուս, երկվորյակ, զույգ և այլն:

Թվի սկզբնական  հասկացության չափազանց կոնկրետության շշմելու օրինակ կարող է ծառայել Բրիտանական Կոլումբիայում ապրող ցիմշիան հնդկացիների լեզուն: Այդ լեզվում թվականների յոթ տարբեր հավաքածու կա՝ մեկը հարթ առարակաների և կենդանիների համար, երկրորդը կլոր առարկաների և ժամանակի համար, երրորդը մարդկանց հաշվելու համար, չորրորդը երկար առարկաների և ծառերի համար, հինգերորդը կանոեյի համար, վեցերորդը չափերի համար և յոթերորդը այն առարկաների համար, որոնք չի կարելի ճիշտ որոշել: Վերջինները, հավանաբար, թարմ ձեռքբերում են, մնացած բոլորը գալիս են ավելի հին ժամանակներից, երբ այդ ցեղի ներկայացուցիչները դեռ հաշվել չգիտեին:

Հատկապես հաշիվը միավորեց կոնկրետը և, հետևաբար, բազմաքանակության տարասեռ հասկացություննրը, որոնք բնորոշ էին նախնադարյան մարդկանց, վերացական թվի համասեռ հասկացությունում, առանց որի անհնար է մաթեմատիկան:

Չնայած կարող է տարօրինակ թվալ, բայց կարելի է հանգել թվի տրամաբանական, պարզ հասկացությանը առանց հաշիվ կիրառելու:

Մտնում ենք դահլիճ: Մեր առջև երկու հավաքածու է՝ սենյակում տեղերը և ուսանողները: Առանց հաշվելու կարող ենք պարզել՝ հավասար են այդ հավաքածուները, և եթե հավասար չեն, նրանցից որն է շատ: Եթե բոլոր տեղերը զբաղված են և ոչ մեկը կանգնած չէ, գիտենք, առանց հաշվելու, որ երկու հավաքածուները հավասար են: Եթե բոլոր տեղերը զբաղված են և սենյակում ինչ-որ մեկը կանգնած է, առանց հաշվելու գիտենք, որ ուսանողները ավելի շատ են, քան տեղերը:

Մենք դա պարզեցինք օգտվելով մի հասկացությունից, որը իշխում է ամբողջ մաթեմատիկայում և ստացել է փոխմիարժեք համապատասխանություն անվանումը: Փոխմիարժեք համապատասխանությունը հաստատելու պրոցեսը մի բազմության յուրաքանչյուր տարրին մյուս բազմությունից մեկ տարր համապատասխանացնելն է: Այս պրոցեսը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև մի բազմությունը կամ երկուսն էլ սպառվեն:

Պրիմիտիվ շատ ցեղերի մոտ հաշվի տեխնիկան սահմանափակված է հենց այդպիսի համադրումով և համապատասխանություն հաստատելով:  Նրանք իրենց հոտերի կամ բանակի մասի տեղեկությունը պահում են ծառի վրա արված  կտրվածքի կամ քարի կույտի միջոցով: Այն մասին, որ մեր նախնիները այդ մեթոդի գիտակ են եղել, վկայում է tally և calculate բառերի ստուգաբանումը, որոնցից առաջինը առաջացել է լատիներեն talea՝  կտրվածք բառից, իսկ երկրորդը՝ լատիներեն calculus՝ քար:

Առաջին հայացքից թվում է, թե համապատասխանություն ստեղծելու մեթոդը կգործի միայն երկու հավաքածուների դեպքում, այլ ոչ թե թիվ ստեղծելու հարցում՝ այս բառի բացարձակ իմաստով: Սակայն հարաբերական թվերից բացարձակին անցնելը բարդ չէ: Անհրաժեշտ է միայն ստեղծել նմուշային հավաքածու, որի հետ հետո համեմատել ուսումնասիրվող հավաքածուներից յուրաքանչյուրը: Այդ դեպքում տրված յուրաքանչյուր հավաքածուի գնահատումը հանգում է համապատասխան նմուշային հավաքածուի ընտրությանը, որի յուրաքանչյուր տարրին կարելի է համապատասխանեցնել ուսումնասիրվող հավաքածուից մեկ տարր:

Նախնադարյան մարդը այդպիսի նմուշային հավաքածուներ հայտնաբերում է իր անմիջական շրջապատում՝ թռչունի թևերը կարող են երկուս նշանակել, երեքնուկի թերթիկները՝ երեք, կենդանու ոտքերը՝ չորս, իր ձեռքի մատները՝ հինգ:   Թվականների այդպիսի ծագման մասին վկայությունները կարելի  գտնել պարզագույն շատ լեզուներում: Իհարկե, այն բանից հետո, երբ թվականը ստեղծված և ընդունված է, այն դառնում է նույն ձևի լավ նմուշ, ինչպես և այն օբյեկտը, որը սկզբում ինքը ներկայացնում էր: Օբյեկտը, որից փոխ է առնված անվանումը, թվի անվանումից տարբերելու անհրաժեշտությունը բնականորեն հանգեցրել է բառի արտասանության փոփոխությանը, և ժամանակի ընթացքում անվանումների միջև կապը մառացվել է: Մարդու՝ իր լեզվին ավելի շատ ապավինել սովորելուն զուգընթաց, պատկերները դուրս են մղվում դրանք նշանակող հնչյունների կողմից և ի սկզբանե կոնկրետ օբյեկտները ընդունում են թվերի անվանումների վերցական ձևը: Հիշողությունը և սովորությունը այդ վերացական ձևերին կոնկրետություն են հաղորդում. այդպես պարզ բառերը դառնում են բազմաքանակության չափ:

 

Հենց նոր նկարագրված հասկացությունը կոչվում է քանակական թիվ: Քանակական թիվը հիմնված է համապատասխանության սկզբունքի վրա. այն հաշիվ չի ենթադրում:  Հաշիվ ստեղծելու համար բավարար չէ ունենալ նմուշային հավաքածուի տարբեր տարրերից կազմված ամբողջություն, որքան էլ որ այդ ամբողջությունը լրիվ լինի: Անհրաժեշտ է մշակել թվերի համակարգ՝ մեր նմուշային հավաքածուները պետք դասավորված լինեն կարգավորված հաջորդականությամբ, այնպիսին, որ նրանում հաջորդելու կարգը որոշվի մեծության աճով, այսինքն բնական շարքով՝ մեկ, երկուս, երեք…  Նման համակարգ ստեղծելուց հետո հաշվել հավաքածուի տարրերի քանակը, կնշանակի հավաքածուի յուրաքանչյուր հաջորդ տարրին վերագրել բնական շարքից թիվ՝ աճման կարգով, մինչև ամբողջ հավաքածուն վերջանա: Հավաքածուի վերջին տարրին վերագրվող թիվը, կոչվում է հավաքածուի կարգային թիվ:

 

Կարգային թվերի վրա հիմնված հաշվարկի համակարգը կարող է ընդունել զույգերի կոնկրետ ձև, բայց դա, իհարկե, պարտադիր չէ: Կարգային համակարգը սկսում է գույություն ունենալ այն բանից հետո, երբ առաջին մի քանի թվը նշանակող բառերը մնում են մարդկանց հիշողության մեջ, որպես կարգավորված հաջորդականություն և առաջանում է հնչյունական համակարգ, որը հնարավորություն է տալիս ցանկացած մեծ թվի համար ստանալ նրա հաջորդ թիվը:

Մենք այնքան հեշտությամբ սովորեցինք անցնել քանակական թվականներից կարգայինների, որ մեզ համար երկու մոտեցումները միավորվել են մեկում: Հավաքածույում տարրերի քանակը, այսինքն կարգային թիվը, որոշելու համար, մեզ այլևս անհրաժեշտ չէ տարրերի համապատասխան քանակով հարմար նմուշային հավաքածու փնտրել, ուղղակի կարող ենք հաշվել: Մաթեմատիկայում մեր առաջընթացը պայամանավորված է նրանով, որ սովորել ենք նույնացնել թվի նկատմամբ երկու մոտեցումները: Չնայած գործնականում մեզ իրոք պետք են քանակական թվերը, նրանք թույլ չեն տալիս թվաբանություն կառուցել: Թվաբանական գործողությունները հիմնված են ոչ ակնհայտորեն ընդունվող ենթադրության վրա, որ միշտ կարող ենք ցանկացած թվից անցնել հաջորդին, և հեց սա է դասական թվերի համակարգի էությունը: Այսպիսով, համապատասխանեցումը ինքնին թույլ չի տալիս կառուցել հաշվարկների արվեստը: Առանց իրերը կարգավորված հաջորդականությունում շարելու մեր կարողությանը, առաջընթացը աննշան կլիներ: Համապատասխանությունը և հաջորդելու կարգը ամբողջ մաթեմատիկայով անցնող երկու սկզբունք են, ավելին, ճշգրիտ մտածողության բոլոր ոլորտները հյուսված են մեր հաշվարկի համակարգի բուն գործվածքում:

Հիմա բնական է հետաքրքրվելը, թե քանակական և դասական թվերի միջև այդ նուրբ տարբերությունը ինչպես է ազդել թիվ հասկացության սկբնական պատմության վրա: Ցանկալի է ենթադրել, որ քանակական թվերը, որոնք հիմնված են համապատասխանության սկզբունքի վրա, հայտնվել են դասականներից ավելի շուտ, որոնց համար պահանջվում է և՛ համապատասխանեցում, և՛ կարգավորվածություն: Սակայն նախնադարյան մշակույթի և լեզվաբանության ամենամանրակրկիտ ուսումնասիրությունները այդպիսի օրինաչափություն չեն բացահայտել: Ամենուր, որտեղ կա հաշվի ինչ-որ համակարգ, թվերի նկատմամբ երկու մոտեցումն էլ դիտվել են:

Սակայն, պարզվում է, ամենուր, որտեղ գոյություն ունի հաշվի ինչ-որ տեխնիկա, որը այդպիսին կոչվելու արժանի է, դրան նախորդել կամ զուգահեռ գոյություն է ունեցել մատներով հաշվելու տեխնիկա: Մարդու մատները հենց այն գործիքն է, որը քանակական թվականներից դասականներին աննկատ անցնելու հնարավորություն է տալիս: Եթե մարդը ցանականում է ցույց տալ, որ ինչ-որ հավաքածու չորս տարր է պարունակում, նա կծալի կամ կբացի չորս մատ: Իսկ եթե նա ցանկանա հաշվել, թե քանի տարր կա այդ նույն հավաքածույում, նա հաջորդաբար կծալի կամ կբացի մատները: Առաջին դեպքում նա օգտագործում է իր մատները որպես քանակական մոդելային հավաքածու, երկրորդ դեպքում՝ դասական համակարգ: Հաշվի այդպիսի ծագման մասին անառարկելի հղումներ գործնականում տեսանելի են ցանկացած պարզագույն լեզվում:  Դրանցից շատերում «հինգ» բառը հնչում է ինչպես «ձեռք» բառը, «տասը» բառը՝ ինչպես «երկու ձեռք», իսկ երբեմն, ինչպես «մարդ»:  Ավելին, շատ պարզագույն լեզուներում մեկից մինչև չորս թվերը նշանակող բառերը նույնական են համապատասխան մատների անուններին:

Более развитые языки подверглись процессу истирания, в ре­зультате которого потерялось первоначальное значение слов. Առավել զարգացած լեզուները ենթարկվել են փոփոխության, և արդյունքում կորցրել բառերի սկզբնական նշանակությունը:   Սակայն, դրանցում կարելի գտնել «մատների հետքերը»: Համեմատեք սանսկրիտով հինգ նշանակող pantcha բառը պարսկերեն «ձեռք» նշանակող pantcha բառի հետ. ռուսերեն «пять» բառը «пясть» բառի հետ, որը ձեռքի հինգ մատը բացած ափ է նշանակում:

Հաշվարկներում իր հաջողությունների համար մարդը պարտական է իր ճկուն տասը մատներին: Հենց այդ մատներն են նրան հաշվել սովորեցրել և հաշվելու հնարավորությունները ընդարձակել մինչև անվերջություն: Առանց այդ հարմարանքի մարդու հաշվելու տեխնիկան շատ հեռուն չէր գնա թվի մասին սաղմնային զգացողությունից: Ուստի կարելի է հիմնավորված ենթադրել, որ առանց մատների անհուսորեն կանգ կառներ թիվ հասկացության և, հետևաբար, ճշգրիտ գիտությունների զարգացումը, որին պարտական ենք մեր նյութական և մտավոր առաջընթացի համար:

Չնայած որ մեր երեխաները դեռ հաշվել սովորում են մատներով, և ինքներս էլ երբեմն խոսակցության մեջ մեր միտքը ընդգծելու համար դիմում ենք ձեռքերի օգնությանը, այնուամենայնիվ ժամանակակից քաղաքակիրթ մարդկությունը գրեթե կորցրել է մատներով հաշվելու արվեստը: Գրի զարգացումը, հաշվարկի հեշտացումը և համատարած կրթությունը այս արվեստը դարձրեցին հնացած և ոչ պետքական: Այս պայամաններում լրիվ բնական է թերագնահատել հաշվելու մեթոդների զարգացման պատմության մեջ մատներով հաշվելու դերը: (см. с. 16).Ընդամնեը մի քանի հարյուր տարի առաջ այն այնքան լայն տարածում ուներ Արևմտյան Եվրոպայում, որ թվաբանության ոչ մի ձեռնարկ չէր կարող լիարժեք համարվել, առանց այդ մեթոդներից օգտվելու մանրամասն բացատրության (տես էջ 16):

 

Սեփական մատները հաշվի և թվաբանական պարզ գործողություններ կատարելու համար օգտագործելու հմտությունը այն ժամանակ մարդու կրթվածության հատանիշներից էր:  Սեփական մատների օգնությամբ թվերը գումարելու և հանելու կանոնները մշակելիս ցուցադրվել է մեծագույն հնարամտություն:  Այսպես, մինչև մեր օրերը կենտրոնական Ֆրանսիայի(Օվերնի) գյուղացիները հինգից մեծ թվերը բազմապատկելու համար օգտագործում էին զարմանալի մեթոդ:  Եթե պետք է հաշվել 9×8, նրանք ծալում են ձախ ձեռքի 4 մատը (4-ը ցույց է տալիս, թե 9-ը քանիսով է մեծ 5-ից) և աջ ձեռքի երեք մատը (8-5=3): Ծալած մատների քանակը ցույց տալիս տասնավորը (4+3=7), իսկ չծալած մատների արտադրյալը՝ միավորների քանակը (1×2=2):

Նմանատիպ հայտնագործություններ կարելի է գտնել ամենատարբեր տեղերում, իչպես Բեսարաբիան, Սերբիան կամ Սիրիան: Դրանց զարմանալի նմանությունը և փաստը, որ այդ բոլոր երկրները ժամանակին եղել են մեծ Հռոմեական Կայսրության մեջ, հանգեցնում են այս բոլոր մեթոդների հռոմեական ծագում ունենալու մտքին: Սակայն ճշմարտանմանության նույն աստիճանով կարելի է պնդել, որ այդ մեթոդները անկախ են զարգացել, քանի որ նմանատիպ պայմանները բերում են նմանատիպ արդյունքների:

Եվ մեր օրերում մարդկության զգալի մասը մատներով է հաշվում. պետք է հիշենք, որ նախնադարյան հասարակության պայմաններում ապրող մարդկանց առօրյայում դա պարզ հաշվարկների միակ մեթոդն էր:

Քանի՞ տարեկան է թվերի լեզուն: Անհնար է ճիշտ նշել թվականների առաջացման ճիշտ ժամանակաշրջանը, սակայն անտարակուսելի ապացույցներ կան, որ դրանք առաջացել են գրավոր պատմության ստեղծումից հազարավոր տարիներ առաջ:  Մի փաստ արդեն նշվել է՝ եվրոպական լեզուներում թվականների նշանակության սկզբնական բոլոր հետքերը, միգուցե բացառությամբ հինգի, կորել են: Առավել ուշագրավ է, որ թվեր նշանակող բառերին, որպես կանոն, բնորոշ է բացառիկ կայունություն: Չնայած, որ ժամանակի ընթացքում լեզվի շատ բնագավառներում արմատական փոփոխություններ են կատարվում, թվերի բառապաշարը գործնականորեն չի փոխվում: Բանասերները օգտագործում են այս կայունությունը, որպեսզի որոշեն լեզուների ենթադրաբար հեռացված խմբերի ազգակցության աստիճանը: Ընթերցողը կարող է ծանոթանալ այս գլխի վերջում բերված աղյուսակին, որտեղ համեմատության համար բերված են թվերի անվանումները հնդեվրոպական խմբին պատկանող լեզուներով:

Ինչո՞ւ, չնայած այդպիսի կայունությանը, չենք կարողանում գտնել այդ բառերի սկզբնական անվանումների ոչ մի հետք: Կարելի է ենթադրել, որ թվեր նշանակող բառերը իրենց առաջացման պահից մնացել են անփոփոխ, իսկ կոնկրետ առարկաների անվանումները, որոնցից փոխառված են թվականները, լրիվ ձևափոխվել են:

Ինչ վերաբերում է թվերի լեզվի կառուցվածքին, բանասիրական հետազոտություննրը գրեթե համատարած միօրինակություն են բացահայտել: Ամենուր, բոլոր լեզուներում մարդու տասը մատները թողել են իրենց անփոփոխ հետքը:  Ամեն դեպքում, կասկած չկա, որ մեր տասը մատները ազդել են համրանքի համակարգի հիմքի «ընտրության» վրա:  Հնդեվրոպական խմբի բոլոր լեզուներում, ինչպես նաև սիմիթական, մոնղոլական և շատ պարզունակ լեզուներում համրանքի հիմքը տասն է, կան մինչև տասը թվերի համար անկախ անուններ, իսկ տասից բարձր մինչ 100-ը եղած թվերի համար օգտագործում են ինչ-որ մի սկզբունք:  Այս բոլոր լեզուներում կան առանձին անվանումներ 100 և 1000 թվերի համար, իսկ մի քանիսում՝ տասի ավելի բարձր աստիճանների համար: Կան և խաբուսիկ բացառություններ, ինչպես անգլերեն eleven և twelve և գերմաներեն elf  և zwölf  բառերը, բայց այս բառերը առաջացել են einlif  և zwoIif  բառերից, իսկ lif –ը հին գերմաներենում նշանակում է տասը:

Նաև անհրաժեշտ է ասել, որ բացի տասական հիմքից բավականին լայնորեն տարածված են համրանքի համակարգի էլի երկու հիմքեր, բայց նրանց տարբերիչ հատկությունները զգալի չափով հաստատում են համրանքի մեր համակարգի մարդակերպական բնույթը: Այդ երկու համակարգերն են հնգականը՝ 5 հիմքով և քսանականը՝ 20 հիմքով:

Հնգական համակարգում կան առանձին անվանումներ ընդհուպ հինգ թվի համար, իսկ բաղադրյալները սկսվում են դրանից հետո: (նայեք գլխի վերջի աղյուսակը): Այսպիսի համակարգը, ակնհայտորեն, ծնվել է մարդկանց շրջանում, ովքեր վարժվել են հաշվել մեկ ձեռքի մատներով: Բայց ինչո՞ւ են մարդիկ իրենց սահամնափակել մեկ ձեռքով հաշվելով: Հնարավոր բացատրություններից է, որ նախնադարում ապրող մարդիկ շատ քիչ են եղել առանց զենքի: Երբ նա ցանկանում է որևէ բան հաշվել, զենքը դնում է թևատակը, որպես կանոն ձախ ձեռքի, և հաշվում է ձախ ձեռքի մատներով՝ աջ ձեռքը օգտագործելով նշելու համար: Սրանով կարելի բացատրել, թե ինչու են աջլիկները հաշվելու համար միշտ օգտագործում ձախ ձեռքը: Շատ լեզուներ իրենց վրա կրում են հնգական համակարգի հետքեր, և բնական է ենթադրելը, որ համրանքի որոշ տասական համակարգեր անցել են այդ փուլով: Որոշ բանասերներ պնդում են, որ նույնիսկ հնդեվրոպական լեզուներում թվականները հնգական ծագում ունեն: Այդ բանասերները նշում են հունարեն pempazein բառը, որը նշանակում է հնգյակներով հաշվել, ինչպես նաև հռոմեական թվականների անվիճելիորեն հնգական բնույթ ունենալը: Սակայն այս փաստի ուրիշ հաստատում չկա, և ավելի հավանական է, որ մեր խմբի լեզուները նախապես անցել են քսանական համակարգի փուլը:

Հավանաբար, այս համակարգը ծնվել է նախնադարյան ցեղերում, որտեղ ոտքերի մատների վրա հաշվել են այնպես, ինչպես՝ ձեռքերի: Որպես զարմանալի օրինակ կարելի է նշել Կենտրոնական Ամերիկայում մայա ցեղի հնդիկների օգտագործած համակարգը:  Անցյալում նմանատիպ համակարգ եղել է նաև ացտեկների մոտ. նրանք օրը  20 ժամի են բաժանել, իսկ նրանց  բանակային ստորաբաժանումը 8000 զինվոր է ունեցել (8000=20x20x20):

Չնայած, որ մաքուր տեսքով քսանական համակարգը հազվադեպ է հանդիպում, շատ լեզուներ կան, որտեղ տասական և քսանական համակարգերը միաձուլվում են: Անգլերենում կան score (20), twoscore (40), threescore (60) բառերը, իսկ ֆրանսերենում՝ vingt (20) և quatre-vingt (4 х 20): Ֆրանսիայում այս ձևը առաջ ավելի շատ էր օգտագործվում: Փարիզում 300 կույր վետերանների համար կառուցված հիվանդանոցը ունի հնացած և անսովոր անվանում Quinze-Vingt (15 х 20), իսկ Onze-Vingt (11 х 20) անվանումը կրում է սերժանտ-ոստիկանների կորպուսը, որը բաղկացած է 220 մարդուց:

Ավստրալիայի և Աֆրիկայի պարզունակ ցեղերը օգտագործում են ո՛չ հնգական, ո՛չ տասական, ո՛չ քսանական հիմքերով համակարգեր: Это двоичная система, т.е. ее основанием является 2.Օգտագործում են երկուական համակարգ, այսինքն՝ 2 հիմքով: Այդ ցեղերը դեռ չեն հասել մատներով հաշվելու փուլին: Նրանց մոտ անկախ անուններ ունեն «մեկը» և «երկուսը» և բարդ անվանումներ՝ մինչև վեցը: Վեցից մեծ ամեն ինչը անվանում են «շատ» բառով:

Կերը, ում ավստալիական ցեղերի հետ կապված արդեն հղում ենք արել, պնդում է, որ նրանցից շատերը հաշվում են զույգերով: Նրանց այդ ձևով հաշվելու սովորույթը այնքան ուժեղ է, որ եթե շարքով դրված յոթ գնդասեղից վերցնենք երկուսը, նա կարող է դա նույնիսկ չնկատել, իսկ եթե մեկը վերցնենք, իսկույն կնկատի: Նրանց մոտ զույգության այդ զգացողությունը ավելի ուժեղ է, քան թվի զգացողությունը:

Բավականին զարմանալի է, որ այս պարզագույն համակարգը համեմատաբար վերջերս Լեյբնիցի նման հայտնի պաշտպան ձեռք բերեց: Երկուական համակարգում միայն երկու սիմվոլ են օգտագործվում՝ 0 և 1, որոնց միջոցով էլ արտահայտում են մյուս թվերը, ինչպես ցույց է տրված աղյուսակում:՝

 

 

տասական համակարգ 1 2 3 4 5 6 7 8
երկուական համակարգ 1 10 11 100 101 110 111 1000
տասական համակարգ 9 10 11 12 13 14 15 16
երկուական համակարգ 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000

 

Երկու հիմքով համակարգի առավելությունը անհրաժեշտ սիմվոլների քանակն է և հաշվարկների չափազանց պարզ լինելը: Հարկ է հիշել, որ համրանքի յուրաքանչյուր համակարգ պահանջում է մտքում պահել գումարման և բազմապատկման աղյուսակները: Երկուական համակարգի համար այդ աղյուսակները հանգում են երկու կանոնի՝ 1+1=10 և 1×1=1, մինչդեռ տասական համակարգում աղյուսակներից յուրաքանչյուրը 100 բջիջ ունի: Սակայն այդ առավելությունը զգալի չափով փոխհատուցվում է սեղմության բացակայությամբ. այսպես, 4096 = 212 տասական թիվը երկուական համակարգում գրվում է 1 000 000 000 000:

Հենց երկուական համակարգի խորհրդավոր նրբությունը ստիպեց Լեյբնիցին բացականչել՝ Omnimbus ex nihil ducendis sufficit unum (մեկը բավարար է ոչինչից ամեն ինչ ստանալու համար): Լապլասն ասել է.

«Լեյբնիցը երկուական համակարգում տեսավ Արարման նախապատկերը… Նրան մեկը ներկայանում էր որպես Աստվածային սկիզբ, իսկ զրոն՝ անէություն և որ Բարձարագույն Էակը ամեն ինչ ստեղծում է անէությունից ճիշտ այնպես, ինչպես մեկը և զրոն իր համակարգում արտահայտում են բոլոր թվերը: Հայացքների այս համակարգը այնքան դուր եկավ Լեյբնիցին, որ նա դրա մասին հայտնեց ճիզվիտ Գրիմալդիին՝ չինացիների մաթեմատիկական ընկերության նախագահին, հույս ունենալով, որ Արարման այդ պատկերը կօգնի քրիստոնյա դարձնելու Չիանաստանի կայսրին, ով շատ հետաքրքրված էր գիտություններով: Այդ մասին ասում եմ միայն այն պատճառով, որպեսզի ցույց տամ, թե ինչպես մանկական նախապաշարմունքները կարող են մթագնել նույնիսկ այդպիսի մեծ մարդու հայացքը»:

Հետքրքիր է երևակայելը, թե ինչպես կփոխվեր մշակույթի պատմությունը, եթե մարդը ճկուն մատների փոխարեն երկու անշարժ վերջույթ ունենար: Եթե նման պայմաններում, համենայնդեպս, առաջանար համրանքի համակարգ, այն, ավելի շուտ, երկուական կլիներ:

Այն, որ մարդկությունը ընդունել  համրանքի տասական համակարգը, ֆիզիոլագիական պատահականություն է: Ովքեր ամեն ինչում Նախախնամության ձեռքն են տեսնում, ստիպված են ընդունել, որ Նախախնամությունը մաթեմատիկայից լավ չէ: Բացի այն, որ այդ համակարգը հարմար է ֆիզիոլագիական տեսանկյունից, այն քիչ բանով է գրավիչ: Ցանկացած այլ համակարգ, բացի, հնարավոր է, իննականից կարող էր նույնքան լավը լինել, իսկ հավանաբար՝ ավելի լավը:

Իսկապես, եթե ընտրությունը թողնվեր փորձագետների խմբին, ականատեսը կլինեինք սուր վեճի՝ պրակտիկ անձանց, որոնք կպնդեին հնարավորին չափ շատ բաժանարարներ ունեցող թվի վրա, ինչպեսին է 12-ը, և մաթեմատիկոսների, ովքեր կցանկանային, որ որպես հիմք պարզ թիվ ընտրվեր, ինչպիսին է 7-ը կամ 11-ը:  Իրոք, տասնութերորդ դարի վերջի մեծ բնախույզ Բյուֆոնը առաջարկեց ամենուր օգտագործել համրանքի տասներկուական համակարգ: Նա նշում էր այն փաստը, որ 12 թիվը չորս բաժանարար ունի, մինչդեռ 10 թիվը ընդամենը՝ երկու, և պնդում էր, որ դարերի ընթացքում տասական համակարգի այդ թերությունը այնքան խիստ է զգացվել, որ չնայած հիմքը տասն է եղել, չափի միավորների մեծ մասը բաղկացած են 12 մասից:

Մյուս կողմից, հայտնի մաթեմատիկոս Լագրանժը հայտարարել է, որ որպես համրանքի համակարգի հիմք պարզ թիվը շատ ավելի նախընտրելի է: Նա նշում էր այն փաստը, որ այդ դեպքում համրանքի համակարգի հիմքով բոլոր կոտորակները անկրճատելի կլինեին և այդ պատճառով էլ ովերը միակ ձևով կներկայացվեին: Օրինակ, համրանքի ժամանակակից համակարգում 0,36 տասնորդական կոտորակը իրականում շատ կոտորակներ է նշանակում՝  : Համարվում է, որ այդպիսի անորոշությունը կնվազեր, եթե որպես հիմք ընդունվեր պարզ թիվ, օրինակ՝ 11:

Ինչն էլ ընտրելու լիներ փորձագետների խումբը, ում վստահվել էր համակարգի հիմքի ընտրությունը՝ պարզ թե բաղադրյալ թիվ, կարելի է երաշխավորել, որ տասը թիվը ընդհանրապես չէր դիտարկվի, քանի որ այն պարզ չէ և բավականաչափ բաժանարարներ չունի:

Մեր ժամանակներում, երբ հաշվիչ սարքերը գրեթե բոլորովին դուրս են մղել բանավոր հաշիվը, ոչ ոք նման ենթադրությունները լուրջ չի ընդունում: Առավելությունները այնքան աննշան կլինեին, իսկ տասնյակներով հաշվելու ավանդույթը այնքան ուժեղ, որ այս խնդիրը ծիծաղելի է թվում

Մշակույթի պատմության տեսանկյունից, նույնիսկ գործնական նկատառումներից բխող, հիմքի փոփոխությունը խիստ անցանկալի է: Քանի դեռ մարդը հաշվում է տասնյակներով, նրա տասը մատը հիշեցնում են մտածողության այս առավել կարևոր բնագավառի մարդկային ծագումի մասին:

Հնարավոր է, որ տասական համակարգը կոչված է ծառայելու որպես կենդանի հիշեցում, որ ամենի ինչի չափը Մարդն է:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реклама

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход /  Изменить )

Google photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google. Выход /  Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход /  Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход /  Изменить )

Connecting to %s

Սյուզաննա Վարսանյան

Ն. Աշտարակեցու1 դպրոց

Լրագրողների ակումբ

«Մխիթար Սեբաստացի » կրթահամալիր

Ընթերցողի բլոգ

Մխիթար Սեբաստացի Կրթահամալիր

Դիլիջանի թիվ 3 մանկապարտեզ ՀՈԱԿ

Տնօրեն՝ Լիաննա Խալաֆյան

Մարի Միքայելյանի մեդիամիջավայր

«Իմացումի հրճվանք» ծրագրի 3-րդ դասարան, Մխիթար Սեբաստացի կրթահամալիր, Հյուսիսային դպրոց-պարտեզ, Հասցե՝ Րաֆֆու 69/1, Հեռ. 73 52 10, Էլ. հասցե՝ artschool@mskh.am

Մարի Միքաելյանի բլոգ

«Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր

Իմ կախարդական մոլորակը

Մխիթար Սեբաստացի կրթահամալիր,Միջին դպրոց 7.3 դասարան

Անահիտ Բեկյան

"Մխիթար Սեբաստացի" կրթահամալիր

Armen Abisoghomyan

Personal Blog | www.abisoghomyan.com

ՏՈՒՆՏՈՒՆԻԿ

մանկական.ուսուցողական.ժամանցային

Հայկական հանրագիտարան

Ձեր թվային գրադարանը

Հայկական կակաչ (Papaver Armeniacum)

Հոգևոր-մշակութային կայք - Երևանի «Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր

Ազնիվ Հովհաննիսյան

Մխիթար Սեբաստացի կրթահամալիր

Մեդիամիջավայր

Մխիթար Սեբաստացի կրթահամալիր /t.avetisyan@mskh.am / Հասցե` Հարավարևմտյան զանգված, Ա. Բաբաջանյան 38/1 Հեռ` +374 (10) 74 21 72 Էլ. փոստ` dproc-partez@mskh.am

3․1 դասարանի բլոգ

Դպրոց-պարտեզ Հեռ` +374 (10) 74 2172 Հեղինակ`Հռիփսիմե Առաքելյան h.araqelyan@mskh.am

Արմինե Աբրահամյանի բլոգ

«Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր

%d такие блоггеры, как: